Proses Stokastik dan Proses Poison

Statistika sering digunakan dalam aplikasi manajemen, salah satunya adalah digunakan dalam membantu mengambil keputusan. Banyak sekali metode-metode statistika yang digunakan dalam teori keputusan. Para penulis menyajikannya dalam buku-buku research operational. Buku buku tersebut menyajikan metode-metode yang bisa menuntun cara bagaimana optimalisasi treatment dalam manajemen maupun bisnis. Salah metodenya adalah metode Stokastik, yang didalamnya terdapat teori antrian, rantai markov dan sebagainya.

Kebanyaknya orang selalu berfikir praktis hanya bagaimana cara mengunakan metode yang disajikan dalam buku-buku tersebut, tanpa memperhatikan kembali sebenarnya apa dan dari mana filosofi istilah tersebut.

Pada tulisan ini saya sedikit mencoba mencoba kembali membaca , memahami dan menyajikan salah satu bagaian dari buku Stochastic Processes second edition karya Sheldon M  Ross (1996). New York: John Wiley and sons Inc, yaitu tentang proses stokastik, proses menghitung, maupun yang proses poison yang pada prakteknya merupakan salah satu dasar dari teori keputusan. Saya harapkan banyak masukan dan sharing terhadap tulisan ini.

Kita akan memulai pembahasan disini dengan istilah peubah acak. Misalnya E adalah sebuah percobaan dengan ruang sampel S. Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s elemen S dengan bilangan real X(s) dinamakan peubah acak.

Dalam buku tersebut dikatakan bahwa Proses stokastik X ={X(t) | t elemen T} merupakan koleksi peubah acak. Dimana untuk setiap t pada himpunan  indek T, dan X(t) merupakan peubah acak. Pada aplikasinya t sering digunakan untuk menyatakan waktu, dan  X(t) merupakan keadaan pada proses saat waktu t.

            Proses stokastik {N(t), t > 0 } juga sering dinamakan proses menghitung jika N(t) menyatakan banyak peristiwa terjadi dalam selang waktu t. Sebuah proses menghitung N(t) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1.            N(t) >= 0.

2.            N(t) bernilai bulat positif.

3.            Jika s < t, maka N(s) < N(t).

4.         Untuk s < t, N(t) – N(s) menyatakan banyaknya peristiwa terjadi dalam selang (s,t].

Proses menghitung dikatakan memiliki kenaikan bebas, jika banyak peristiwa yang terjadi dalam interval waktu lepas adalah bebas. Maksudnya adalah banyaknya peristiwa yang terjadi dalam selang [0,t] yaitu N(t) bebas tidak berpengaruh terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada selang (t,t + s], yakni

            Proses menghitung dikatakan proses kenaikan stasioner. Jika distribusi dari banyak peristiwa yang terjadi dalam suatu interval waktu lepas tergantung hanya pada panjang interval (interval sama akan berdistribusi sama).

Proses menghitung {N(t), t >= 0 }dinamakan proses Poisson. Sifat–sifat proses Poisson  untuk proses kedatangan:

1.      Pada saat t = 0 tidak terdapat peristiwa kedatangan maupun keberangkatan. N(t=0) = 0.

2.      Diberikan N(t) jumlah dari peristiwa kedatangan selama interval [0,t], peristiwa kedatangan mempunyai kenaikan stasioner dan kenaikan bebas.

3.      Pada interval waktu sangat kecil h > 0, di sana terdapat peluang munculnya   satu peristiwa kedatangan maupun keberangkatan dengan peluang 0 < p{N(h) =1}< 1. Peluang untuk satu kedatangan pada interval h > 0, yaitu p{N(h) =1} adalah uh + o(h), dimana u merupakan laju (intensitas) kedatangan.